SPI練習問題-問4(集合)

集合の問題。次の問いを解答せよ。

ある地区の150軒の家でP、Q、Rの新聞を取っているかどうかの調査を行った。P新聞を取っている家が62軒、Q新聞を取っている家が78軒、R新聞を取っている家が54 軒、三紙すべて取っている家が16軒あった。その一方で、三紙とも取っていない家が10軒あった

[問題1]
P、Q、Rのいずれか二紙のみ取っている、家は何軒あるか。

[解答群]
 20軒
 21軒
 22軒
 23軒
 24軒
 25軒
 26軒
 該当なし

解答と解説

問題1の解説:
分かっている内容をベン図にすると次のようになります。

syugo-q4-1

 aは、P新聞だけを取っている家
 bは、Q新聞だけを取っている家
 cは、R新聞だけを取っている家
 dは、PとQ新聞を取っている家
 eは、PとR新聞を取っている家
 fは、QとR新聞を取っている家

求めたいのは、P、Q、Rのいずれか二紙のみ取っている、家の軒数なので該当するのは、d、e、fになります。

まずは、P新聞、Q新聞、R新聞を個別にみていきます。

P新聞
P新聞を取っている家の合計軒数は、62軒。その内訳は、

 P新聞のみを取っているa
 P新聞とQ新聞を取っているd
 P新聞とR新聞を取っているe
 P新聞とQ新聞とR新聞を取っている16軒

この合計が62軒となるので次の式が成り立ちます。

 a+d+e+16=62
  ↓
 a+d+e=62-16
 a+d+e=46 ・・・(1)

Q新聞
Q新聞を取っている家の合計軒数は、78軒。その内訳は、

 Q新聞のみを取っているb
 Q新聞とP新聞を取っているd
 Q新聞とR新聞を取っているf
 P新聞とQ新聞とR新聞を取っている16軒

この合計が78軒となるので次の式が成り立ちます。

 b+d+f+16=78
  ↓
 b+d+f=78-16
 b+d+f=62 ・・・(2)

R新聞
R新聞を取っている家の合計軒数は、54軒。その内訳は、

 R新聞のみを取っているc
 R新聞とP新聞を取っているe
 R新聞とQ新聞を取っているf
 P新聞とQ新聞とR新聞を取っている16軒

この合計が54軒となるので次の式が成り立ちます。

 c+e+f+16=54
  ↓
 c+e+f=54-16
 c+e+f=38 ・・・(3)

さらに円内の合計軒数は上図のa、b、c、d、e、f、16軒の合計になります。この合計軒数は、聞き取りをした家の軒数は150軒でその内10軒が円の外になるので、150-10=140軒となります。よって、円内の合計軒数は次の式で表すことができます。

 a+b+c+d+e+f+16=140
  ↓
 a+b+c+d+e+f=140-16
 a+b+c+d+e+f=124 ・・・(4)

求めたいのは、P、Q、Rのいずれか二紙のみ取っている、家の軒数d、e、fの合計軒数です。よって、式(4)をd、e、fの合計となるように変形させます。

 a+b+c+d+e+f=124 ・・・(4)
 d+e+f=124-(a+b+c) ・・・(5)
 

d+e+fの合計を求めるには、a+b+cの値が分かる必要があります。そこで、上で求めた式(1)(2)(3)を利用します。

 a+d+e=46 ・・・(1)
 b+d+f=62 ・・・(2)
 c+e+f=38 ・・・(3)

この式(1)(2)(3)を変形させると

 a=46-d-e ・・・(1)’
 b=62-d-f ・・・(2)’
 c=38-e-f ・・・(3)’

となります。これを式(5)へ代入します。

 d+e+f=124-{(46-d-e)+(62-d-f)+(38-e-f)}

 d+e+f=124-(46-d-e+62-d-f+38-e-f)
 d+e+f=124-(146-2d-2e-2f)
 d+e+f=124-146+2d+2e+2f)
 d+e+f-2d-2e-2f=-22
 -d-e-f=-22
 -(d+e+f)=-22
 d+e+f=22

よって、22軒

解答:C

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