SPI練習問題-問16(仕事算・水槽算)

SPI練習問題-問16(仕事算・水槽算)

仕事算に関する問題。次の設問を答えよ。

[設問１]
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの4人がある仕事をした。Ａ、Ｂ、Ｃの3人が一緒に仕事をすると2時間で終わり、ＡとＤの2人なら8時間、ＢとＤの2人だと6時間、ＣとＤの2人だと4時間かかる。Ａ1人だけであれば仕事が終わるまでに何時間かかるか。

解答と解説

知っておくべき知識
仕事算・水槽算の問題を解く場合、全体の仕事量を１と仮定して計算するのが基本です。ただし、必ずしも１と仮定する必要はなく、１人で仕事をした場合にかかる各々の日数の最小公倍数を全体の仕事量と仮定した方が計算が簡単になる場合が多いです。

仕事算・水槽算の解き方や、上記の仕事量の仮定値の設定方法が分からない方は、『仕事算・水槽算 ～練習問題と解き方を徹底解説！～』のページで詳しく解説しているので、そちらを参考にしてください。

設問１の解答と解説：

この問題はSPIではよく出題されます。全体の仕事量を1と仮定し、単位当たりの仕事量を求めて解を導く流れは共通なので頭に入れておきましょう。

・すべき全体の仕事量を1と仮定します。
・Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが1時間当たりに行う仕事量をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄと仮定します。

Ａ、Ｂ、Ｃの3人の場合を考える
全体の仕事量1を終わらすのにＡ、Ｂ、Ｃの3人が一緒に仕事をすると2時間で終わるということなので、Ａ、Ｂ、Ｃの3人が一緒に仕事をした場合の1時間で終わらすことができる仕事量は次の通り。

　Ａ、Ｂ、Ｃ3人の1時間当たりの仕事量＝全体の仕事量 ÷ 仕事全体にかかった時間
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝1 ÷ 2
　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＝1/2 ・・・(１)

Ａ、Ｂ、Ｃ3人が1時間で終わらせることができる仕事量は1/2だと分かりました。計算するまでもなく、2時間で仕事全体が終わるので、1時間だと半分の1/2とすぐに分かりますよね。

Ａ、Ｄの2人の場合を考える
全体の仕事量1を終わらすのにＡ、Ｄの2人が一緒に仕事をすると8時間で終わるということなので、Ａ、Ｄの2人が一緒に仕事をした場合の1時間で終わらすことができる仕事量は次の通り。

　Ａ、Ｄ2人の1時間当たりの仕事量＝全体の仕事量 ÷ 仕事全体にかかった時間
　Ａ＋Ｄ＝1 ÷ 8
　Ａ＋Ｄ＝1/8 ・・・(２)

8時間で全体の仕事が終わるので、1時間で終わらせることができる仕事量は1/8。これもすぐわかりますね。

Ｂ、Ｄの2人の場合を考える
全体の仕事量1を終わらすのにＢ、Ｄの2人が一緒に仕事をすると6時間で終わるということなので、Ｂ、Ｄの2人が一緒に仕事をした場合の1時間で終わらすことができる仕事量は次の通り。

　Ｂ、Ｄ2人の1時間当たりの仕事量＝全体の仕事量 ÷ 仕事全体にかかった時間
　Ｂ＋Ｄ＝1 ÷ 6
　Ｂ＋Ｄ＝1/6 ・・・(３)

Ｃ、Ｄの2人の場合を考える
全体の仕事量1を終わらすのにＣ、Ｄの2人が一緒に仕事をすると4時間で終わるということなので、Ｃ、Ｄの2人が一緒に仕事をした場合の1時間で終わらすことができる仕事量は次の通り。

　Ｃ、Ｄ2人の1時間当たりの仕事量＝全体の仕事量 ÷ 仕事全体にかかった時間
　Ｂ＋Ｄ＝1 ÷ 4
　Ｃ＋Ｄ＝1/4 ・・・(４)

Ａが1時間あたりに行える仕事量を求める
(１)(２)(３)(４)より、

　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＝1/2 ・・・(１)
　Ａ＋Ｄ＝1/8 ・・・(２)
　Ｂ＋Ｄ＝1/6 ・・・(３)
　Ｃ＋Ｄ＝1/4 ・・・(４)

(２)(３)(４)の式を次のように変形させます。

　Ａ＝1/8 － Ｄ ・・・(２)’
　Ｂ＝1/6 － Ｄ ・・・(３)’
　Ｃ＝1/4 － Ｄ ・・・(４)’

これを(１)へ代入

　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＝1/2 ・・・(１)
　(1/8 － Ｄ)＋(1/6 － Ｄ)＋(1/4 － Ｄ)＝1/2

分数計算は面倒なので、両辺に24を掛けて分数ではない形にしてしまいます。

　{(1/8 － Ｄ)＋(1/6 － Ｄ)＋(1/4 － Ｄ)} × 24＝1/2 × 24
　3－24Ｄ＋4－24Ｄ＋6－24Ｄ＝12
　13－72Ｄ＝12
　－72Ｄ＝－1
　Ｄ＝1/72

Ｄが1時間でできる仕事量がでてきました。この値を(２)’へ代入すると、Ａが1時間でできる仕事量がでてきます。

　Ａ＝1/8 － Ｄ ・・・(２)’
　Ａ＝1/8 － 1/72
　　＝9/72 － 1/72
　　＝8/72
　　＝1/9

よって、Ａが1時間でできる仕事量は、仕事全体1に対して1/9とわかりました。よって、Ａが1人で仕事全体1＝9/9 をするのには、9時間かかることになります。

求める解答は、9時間のＡ

解答：Ａ