東京都市大学付属中学校 入試問題4-1

平成２２年度 東京都市大学付属中学校の入学試験問題(第３回) 設問４－（１）に関する問題の解説。

ある農家では野菜を３種類の箱Ａ、Ｂ、Ｃに入れて出荷します。Ａの箱はＣの箱より１０箱少なく、３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃは合わせて６０箱あります。あとの問いに答えなさい。

[設問１]ある日、Ａの箱に５個、Ｂの箱に４個、Ｃの箱に３個ずつ野菜を入れていき、全ての箱に野菜を入れた時、野菜は８０個余りました。そこで、余った野菜をＡとＢの箱すべてに２個ずつ追加していき、それでも余った野菜をいくつかのＣの箱に１個ずつ追加したところ、野菜がなくなりました。このとき、野菜を追加しなかったＣの箱は１５箱でした。この日の野菜は全部で何個ありましたか。

解答と解説

設問１の解説：
Ａの箱の工数をａ
Ｂの箱の工数をｂ
Ｃの箱の工数をｃ

とする。

Ａの箱に５個、Ｂの箱に４個、Ｃの箱に３個ずつ野菜を入れていき、全ての箱に野菜を入れた時、野菜は８０個余ったという点より、次の式が成り立ちます。

（Ａ箱に入れた工数）＋（Ｂ箱に入れた工数）＋（Ｃ箱に入れた工数）＝ 野菜の総数
（5ｘａ）＋（4ｘｂ）＋（3ｘｃ）＋ 80 ＝ 野菜の総数
　5ａ＋4ｂ＋3ｃ＋80＝野菜の総数 ・・・（１）

更に、余った野菜をＡとＢの箱すべてに２個ずつ追加していき、それでも余った野菜をいくつかのＣの箱に１個ずつ追加したところ、野菜がなくなった。更に、Ｃの箱１５箱に関しては、野菜を追加していないという点から次の式が成り立ちます。

（7ｘａ）＋（6ｘｂ）＋｛4ｘ（ｃ－15）｝＋ （3ｘ15） ＝ 野菜の総数
　7ａ＋6ｂ＋4ｃ－60＋45 ＝ 野菜の総数
　7ａ＋6ｂ＋4ｃ－15 ＝ 野菜の総数 ・・・（２）

３つの箱Ａ、Ｂ、Ｃは合わせて６０箱あるという点より、次の式が成り立ちます。
ａ＋ｂ＋ｃ＝60 ・・・（３）

式（１）と（２）より、下記の式が成り立ちます。
5ａ＋4ｂ＋3ｃ＋80＝7ａ＋6ｂ＋4ｃ－15

これを整理すると、
2ａ＋2ｂ＋ｃ＝ 95 ・・・（４）

更に式（３）と（４）を解くと、「C=25」が出てきます。また、ａはｃよりも10箱少ないので、「ａ=15」も分かります。このａとｃの値を式（３）に代入すると、「ｂ=20」というのも出てきます。

　ａ＝15箱
　ｂ＝20箱
　ｃ＝25箱

よって、野菜の総数はこのａ、ｂ、ｃの値を式（１）もしくは式（２）に代入することで出てきます。

野菜の総数 ＝ 5ａ＋4ｂ＋3ｃ＋80
　　　　　 ＝ 5ｘ15＋4ｘ20＋3ｘ25＋80
　　　　　 ＝ 75＋80＋75＋80　
　　　　　 ＝ 310

よって、求める解答は、３１０個