SPI練習問題-問1(図形の長さと面積)

SPI練習問題-問1(図形の長さと面積)

図形の面積を求める問題。下の図は、正方形と正三角形とを組み合わせた形です。

ＰＱ＝１２ｃｍのとき上の図形の面積はいくつになるか？

解答と解説

使用する公式：
ここで、使用する公式は、平行四辺形の面積の求め方のみ。

　平行四辺形の面積 ＝ 底辺 ｘ 高さ

あとは、気付きと発想力が非常に重要になる問題です。しかし、この手の問題は初めてやっていきなり解ける人はごく一部で、難しい、これは思いつかない、解けないと思うのは当たり前です。同類の問題を何度もやって、様々なパターンを経験しようやく解くための気付きと発想力が身に付きます。

ポイント：
面積を求めるにはどんな図形であっても底辺、高さが必要になってきます。これらが分からないと面積はまず求められません。よって、今、分かっているのは、図より線分ＰＱの長さが１２ｃｍということだけ。よって、まずは、この線分ＰＱの辺が底辺もしくは高さになるように図を組み替えてやる必要があります。

イメージとしては下図の様な四角形を作りたい。

この組み換えのパターンというのが、上記でも記載した通り問題数をこなすことで直ぐに思いつくようになります。なぜなら、パターンといってもそう多くの種類は存在しないので、過去に経験していればすぐに思いつきます。しかし、逆に過去に経験したことがなければ、まず、この組み換えはすぐに思いつく人は少ないでしょう。

設問の解答と解説：

下図の様に角度を記入すると見えてくるものがあります。

手順１：
線分ＰＵ、ＵＴ、ＰＲ、ＲＳはすべて同じ長さ。更に角ＰＵＴと各ＰＲＳの赤線側の角度はいずれも１５０度となります。よって、辺ＰＵＴと編ＰＲＳは角度も長さま同じなのでピッタリくっつくことが分かります。

そこで、線分ＰＱを境に図形を分割させます。更に分割させた下側の図形ＰＱＳＲを左右反転させます。

手順２：
図形ＰＱＳＲを左右反転させると下図のようになります。そして更に図形ＰＱＳＲを時計回りにぐるっと回転させます。

手順３：
図形ＰＱＳＲを時計回りにぐるっと回転させると下図のように２つの図形がぴったりくっつき四角形ができます。更に、線分ＱＳと線分ＰＱは同じ長さ。また、残りの２辺も元々は同じ線分ＰＱで１２ｃｍで等しいよって、それぞれの向かい合う辺の長さが同じということは、四角形もしくは平行四辺形ということになる。

しかし、角Ｑは７５度なのでこの図形は四角形ではなく平行四辺形ということがわかる。

手順４：
手順３で平行四辺形が出来上がり、求める面積は、底辺ｘ高さになる。しかし、底辺は１２ｃｍと判明しているが、高さが現時点で分からない。手順３で作成した平行四辺形の余分な線を取っ払いシンプルにしたのが下図になります。求めたいのは、赤線の高さ。

ここで、元の図形に戻って少し見てみたいと思います。下図の元の図形に線分ＴＳを引きます。線分ＴＳは、線分ＰＱと全く同じ長さになるので１２ｃｍになります。

更に下図の三角形ＴＱＳの②③④の合計角度が１５０度となり残りの２角の合計が３０度となります。よって、①が１５度になります。また、①②③の合計が９０度ということより、⑤が９０度になることが分かります。

このことより、上図の赤色の実線部分が平行四辺形の高さの線と同じだという事も分かります。また、⑤が９０度ということより、赤色の実線と、赤色の点線は全く同じ長さで線分ＴＳを２等分していることが分かります。

よって、赤色実践（高さ）は１２÷２＝６ｃｍになります。

したがって、求める解答は、１２ｃｍ（底辺）ｘ ６ｃｍ（高さ）＝ ７２ｃｍ²

解答：Ｂ