東京都市大学付属中学校 入試問題4-1

平成22年度 東京都市大学付属中学校の入学試験問題(第3回) 設問4-(1)に関する問題の解説。

ある農家では野菜を3種類の箱A、B、Cに入れて出荷します。Aの箱はCの箱より10箱少なく、3つの箱A、B、Cは合わせて60箱あります。あとの問いに答えなさい。

[設問1]ある日、Aの箱に5個、Bの箱に4個、Cの箱に3個ずつ野菜を入れていき、全ての箱に野菜を入れた時、野菜は80個余りました。そこで、余った野菜をAとBの箱すべてに2個ずつ追加していき、それでも余った野菜をいくつかのCの箱に1個ずつ追加したところ、野菜がなくなりました。このとき、野菜を追加しなかったCの箱は15箱でした。この日の野菜は全部で何個ありましたか。

解答と解説

設問1の解説:
Aの箱の工数をa
Bの箱の工数をb
Cの箱の工数をc

とする。

Aの箱に5個、Bの箱に4個、Cの箱に3個ずつ野菜を入れていき、全ての箱に野菜を入れた時、野菜は80個余ったという点より、次の式が成り立ちます。

(A箱に入れた工数)+(B箱に入れた工数)+(C箱に入れた工数)= 野菜の総数
(5xa)+(4xb)+(3xc)+ 80 = 野菜の総数
 5a+4b+3c+80=野菜の総数 ・・・(1)

更に、余った野菜をAとBの箱すべてに2個ずつ追加していき、それでも余った野菜をいくつかのCの箱に1個ずつ追加したところ、野菜がなくなった。更に、Cの箱15箱に関しては、野菜を追加していないという点から次の式が成り立ちます。

(7xa)+(6xb)+{4x(c-15)}+ (3x15) = 野菜の総数
 7a+6b+4c-60+45 = 野菜の総数
 7a+6b+4c-15 = 野菜の総数 ・・・(2)

3つの箱A、B、Cは合わせて60箱あるという点より、次の式が成り立ちます。
a+b+c=60 ・・・(3)

式(1)と(2)より、下記の式が成り立ちます。
5a+4b+3c+80=7a+6b+4c-15

これを整理すると、
2a+2b+c= 95 ・・・(4)

更に式(3)と(4)を解くと、「C=25」が出てきます。また、aはcよりも10箱少ないので、「a=15」も分かります。このaとcの値を式(3)に代入すると、「b=20」というのも出てきます。

 a=15箱
 b=20箱
 c=25箱

よって、野菜の総数はこのa、b、cの値を式(1)もしくは式(2)に代入することで出てきます。

野菜の総数 = 5a+4b+3c+80
      = 5x15+4x20+3x25+80
      = 75+80+75+80 
      = 310

よって、求める解答は、310個

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