SPI練習問題-問1(濃度算)

濃度算に関する問題。次の設問を答えよ。

[設問1]
果汁100%のジュースを水で37.5%まで薄めると、コップにちょうど18杯になりました。では45%に薄めた場合は何杯になるでしょう。

[解答群]
 11杯
 12杯
 13杯
 14杯
 15杯
 16杯
 17杯
 いずれでもない

解答と解説

設問1解説:
まず、果汁100%のジュースの量を1ℓと仮定します。この量はいくつに設定してもかまいません。ここでは計算しやすいように1ℓとしています。

次に果汁100%とはどういう液体かということを理解する必要があります。果汁100%というのは、1ℓの液体の中に1ℓの果汁が入っているということです。要は、1ℓ全てが果汁ということです。

1ℓの果汁

果汁100%=――――――――――

1ℓの液体

次に果汁100%のジュースに水を加え果汁の濃度を37.5%まで下げるということは、1ℓの液体に水を加え果汁を薄めていくということ。加える水の量をXℓと仮定すると果汁の量は、1ℓのままなので、次の式が成り立ちます。

1ℓの果汁

果汁37.5%=――――――――――――

1ℓの液体+Xℓの水

この式を解くと加えた水の量Xが求まります。37.5%=0.375なので

1

0.375=―――――

1+X

 0.375(1+X)=1
 0.375+0.375X=1
 0.375X=1-0.375
 0.375X=0.625
 375X=625
 X=625/375
 X=5/3

よって、1ℓの液体に5/3 ℓの水を加えたことが分かりました。液体と水の合計量は、

 1+5/3=8/3 ℓ

この8/3 ℓをコップに入れると丁度18杯分になります。コップ1杯の量は次の通り。

 コップ1杯の量=(8/3) ÷ 18
        =(8/3) × (1/18)
        =8/54
        =4/27 ・・・(1)

同様の考えで、果汁45%に薄めたときも求めていきます。

次に果汁100%のジュースに水を加え果汁の濃度を45%まで下げるということは、1ℓの液体に水を加え果汁を薄めていくということ。加える水の量をYℓと仮定すると果汁の量は、1ℓのままなので、次の式が成り立ちます。

1ℓの果汁

果汁45%=――――――――――――

1ℓの液体+Yℓの水

この式を解くと加えた水の量Yが求まります。45%=0.45なので

1

0.45=―――――

1+Y

 0.45(1+Y)=1
 0.45+0.45Y=1
 0.45Y=1-0.45
 0.45Y=0.55
 45Y=55
 Y=55/45
 Y=11/9

よって、果汁45%は1ℓの液体に11/9 ℓの水を加えたものだと分かりました。液体と水の合計量は、

 1+11/9=20/9 ℓ

液体の合計量が20/9 ℓとわかりました。これがコップ何杯分になるかが求めたい解答です。(1)より、コップ1杯の量は4/27と分かっているので、求めたいコップの杯数は次の通り

 コップの杯数=(20/9) ÷ (4/27)
       =(20/9) × (27/4)
       =15杯

解答:E

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