SPI練習問題-問1(グラフの領域)

ア、イ、ウの3式によって示される直線と放物線は、図の様に平面を①から⑧まで8つの領域に分かれる。

 y=-x²+4
 y=-2x+4
 y=0

これらの領域は、ア、イ、ウの3式の等号を適宣不等号に置き換えて得られる1組の連立不等式によって示される。ただし、領域とは図中の太い境界線は含まないものとする。

graph



[設問1]ア、イ、ウの式の等号をすべて不等号に置き換えて④の領域を表したときに、右開きの不等号(<)がつくのは次のうちどれか?

[解答群]
 アだけ
 イだけ
 ウだけ
 アとイ
 アとウ
 イとウ
 アとイとウ
 いずれでもない



[設問2]次の3式からなる連立不等式によって表される領域はどこか?

 y<-x²+4
 y>-2x+4
 y>0

[解答群]
 ①のみ
 ②のみ
 ③のみ
 ④のみ
 ②と⑥と⑦
 ③と④と⑧
 ④と⑤と⑧
 3式で表される領域は存在しない
 AからHのいずれでもない

解答と解説

使用する公式:
最低限下図の様なグラフの領域の見分けはできるようにしておく必要があります。

グラフ



設問1の解説:
 y=-x²+4
まず、y=-x²+4ですが、これは放物線のグラフでy>-x²+4となります。分かりますでしょうか?実際に仮の値を入れて確認してもいいですが、一番確実で早い覚え方は、下向きの放物線の場合、放物線の外側はyの方が大きくなります。

下向き放物線の場合、
 放物線の外側の領域:y>ax²+b・・・(1)
 放物線の内側の領域:y<ax²+b・・・(2)

上向き放物線の場合、
 放物線の外側の領域:y<ax²+b・・・(3)
 放物線の内側の領域:y>ax²+b・・・(4)

よって、今回は(1)が該当します。

 y=-2x+4
放物線と同様に直線グラフの場合も次の等号が成立します。

右上がりの直線グラフの場合
 直線グラフの上側の領域:y>ax+b・・・(1)
 直線グラフの下側の領域:y<ax+b・・・(2)

右下がりの直線グラフの場合
 直線グラフの上側の領域:y>ax+b・・・(3)
 直線グラフの下側の領域:y<ax+b・・・(4)

よって、今回は(4)が適用されます。

 y=0
x軸と並行の直線グラフの場合は、次の等号がなりたちます。簡単ですね。

 直線グラフの上側の領域:y>b・・・(1)
 直線グラフの下側の領域:y<b・・・(2)
 
よって、今回は(1)が適用されます。

これらの結果より、右開きになるのは、イだけになるため、求める解答はBとなります。

解答:B


設問2の解説:
それぞれ順番に領域を見ていきます。

 y<-x²+4
考え方は設問1と同じで下向きの放物線で右開きになっている場合、指し示す領域は放物線の内側になります。よって、②③⑥が該当します。

 y>-2x+4
右下がりのグラフで左開きの等号になるということは、直線グラフの上側にを示します。よって、①②⑧が該当します。

 y>0
X軸と並行なグラフで左開きの場合はグラフより上の領域をしめします。よって、①②③④が該当します。

これらより、3つの連立不等式全てに該当する部分は、②ということがわかります。よって、求める解答はBとなります。

解答:B

2 Responses to “SPI練習問題-問1(グラフの領域)”

  1. どこかのJD より:

    設問2に関しての質問なのですが、

    カ y<-x²+4
    考え方は設問1と同じで下向きの放物線で右開きになっている場合、指し示す領域は放物線の内側になります。よって、②③⑥⑦が該当します。
    そして質問です、何故⑦が含まれるのですか?

    • 管理人 より:

      どこかのJD様

      ご質問ありがとうございます。
      ⑦は誤りですね。修正させて頂きました。
      間違いを正して頂けると非常に助かります。ありがとうございました。

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