SPI練習問題-問1(条件と領域)

あるスポーツクラブでは、ストレッチ、筋力トレーニング、エアロビクス、の3種目を、以下に示す条件を満たすように選択しなければならない。なお、1時間を単位として行う。

 全部で24時間選択
 ストレッチは3時間以上選択
 筋力トレーニングは4時間以上選択
 エアロビクスは7時間以上選択
 ストレッチは10時間以下で選択

下の図は、上の5つの条件を満たす領域を図に示した。

条件と領域

[設問1]点Qと点Rを通る直線で表される協会は、上のどの条件によるものか?

[解答群]
 aのみ
 bのみ
 cのみ
 dのみ
 eのみ
 aとb
 aとc
 aとd
 aとえ
 bとc
 いずれでもない

[設問2]点Pと点Sを通る直線で表される境界は、上のどの条件によるものか?

[解答群]
 aのみ
 bのみ
 cのみ
 dのみ
 eのみ
 aとb
 aとc
 aとd
 aとえ
 bとc
 いずれでもない

[設問3]点P、点Q、点R、点Sのうち、点Tと比べてエアロビクスの選択時間が多くなるのはどの点か?

[解答群]
 点Pのみ
 点Qのみ
 点Rのみ
 点Sのみ
 点Pと点Q
 点Pと点S
 点Qと点R
 点Sと点R
 いずれでもない

解答と解説

使用する公式:
簡単なようで意外に難しい問題。できれば、座標平面上の異なる2点(x1,y1),(x2,y2)を通る直線の方程式を覚えておきたい。

方程式公式

これを覚えておくと条件と領域の問題は容易に解ける。しかし、覚えにく公式なのでどうしても覚えられないという人は、最低限、次の式だけを覚えておくといい。この式から2点を通る直線の式を導きだすことができます。

 y = ax + b



前提条件の確認:
前提条件a~eを式になおしてみる。これをしておくことで問題は解きやすくなります。

 全部で24時間選択
筋力トレーニング時間:y
ストレッチ時間:x
エアロビクス時間:z

とすると、x + y + z = 24

 ストレッチは3時間以上選択
 x ≧ 3

 筋力トレーニングは4時間以上選択
 y ≧ 4

 エアロビクスは7時間以上選択

 z ≧ 7

 ストレッチは10時間以下で選択

 x ≦ 10



設問1の解説:
直線QRは、y軸(筋力トレーニングの選択時間)を式になおすと、y = a となる。前提条件の確認で作った式に含まれるのはc。よって、求める解答はC。

解答:C


設問2の解説:
直線PSは右下がりのグラフなので、y = -ax + c という式になることがわかります。。前提条件の確認で作った式と一致するのは、a。

 y = -x + 24 - z

ここで、zというのは仮に置いた文字でグラフ上では存在しません。よって、dのz ≧ 7をこの式に代入します。

 y = -x + 17

よって、線PSは上記の式で表すことができます。条件としてはdも関わることになるので解答としては、aとdが正解となります。少し難しいですね。線分PSは、筋力トレーニングの時間と、ストレッチの時間、この2つ時間のみの合計と言う点に気付かないと解くのは少し難しい。

解答:H


設問3の解説:
エアロビクスの時間を多くするためには、筋力トレーニングとストレッチの選択時間を減らす必要があります。

点T点は、

ストレッチの選択最小時間:3時間
筋力トレーニングの選択:10時間

よって、T点座標は(3, 10)

合計13時間になります。エアロビクスの時間をこれよりも多くするためには、13時間以下にする必要があります。そして、もう1点筋力トレーニングとストレッチの選択時間合計が13時間になるポイントがあるのが分かりますでしょうか?

T点は、ストレッチが最小時間を取った取った時のポイント。もう一つのポイントは、筋力トレーニングが最小時間を取った時のポイントです。筋力トレーニングは、4時間以上取る必要があるので、最小は4時間になります。

よって、もうひとつのポイントをZとすると

ストレッチの選択時間:9時間
筋力トレーニングの選択最小時間:4時間

Z点座標は(9, 4)

この2点を線で結ぶと下表のようになります。

条件と領域

この赤ラインより下側が筋力トレーニングとストレッチの選択時間が少なくなるポイントです。このポイントにあるのは点Qだけなので、求める解答はBとなります。

解答:B

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